Persamaan Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran
Thursday, 14 January 2021
Add Comment
Jika Terdapat Dua Buah Lingkaran di dalam suatu bidang yang sama, umumnya bisa dibuat dua buah garis singgung persekutuan. Baik garis singgung persekutuan luar, maupun garis singgung persekutuan dalam.
Pada tingkat SMP, biasanya sudah dipelajari tentang menghitung panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran, tetapi untuk tingkat SMA, khususnya materi Matematika Peminatan, yang ditanyakan adalah persamaan garis singgung persekutuan dua lingkaran.
Yukk, kita bahas saja.
1. Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Perhatikan Ilustrasi Gambar berikut:
Perhatikan yang diketahui pada gambar
\;adalah}&space;\\\\\mathbf{x_E=\frac{r_2.x_1+r_1.x_2}{r_1+r_2}}&space;\\\\\mathbf{y_E=\frac{r_2.y_1+r_1.y_2}{r_1+r_2}} "\\\mathbf{Diperoleh\;Koordinat\;Titik\;E\;(x_E,y_E)\;adalah} \\\\\mathbf{x_E=\frac{r_2.x_1+r_1.x_2}{r_1+r_2}} \\\\\mathbf{y_E=\frac{r_2.y_1+r_1.y_2}{r_1+r_2}}")
Karena titik E dilalui oleh garis singgung persekutuan AB, maka titik E bisa disubstitusikan ke persamaan garis singgung persekutuan AB
\;\pm\;r_1.\sqrt{1+m^2}} "\\\mathbf{y-y_1=m.(x-x_1)\;\pm\;r_1.\sqrt{1+m^2}}")
sehingga menjadi:
\;\pm\;r_1.\sqrt{1+m^2}} "\\\mathbf{y_E-y_1=m.(x_E-x_1)\;\pm\;r_1.\sqrt{1+m^2}}")
dengan manipulasi aljabar, akan diperoleh nilai dari "m"
Setelah nilai "m" diperoleh, selanjutnya salah satu alternatif penyelesaian, tinggal mencari persamaan garis lurus yang melalui 1 titik dan bergradien "m", yakni:
} "\\\mathbf{y-y_E=m.(x-x_E)}")
LATIHAN SOAL
Tentukan persamaan Garis Singgung Persekutuan Dalam dari Dua Lingkaran Berikut:
^2+(y-3)^2=16}&space;\\\mathbf{L2\equiv&space;(x-12)^2+(y-3)^2=4} "\\\mathbf{L1\equiv (x-2)^2+(y-3)^2=16} \\\mathbf{L2\equiv (x-12)^2+(y-3)^2=4}")
Alternatif Solusi:
^2+(y-3)^2=16}&space;\\\mathbf{P_1=(2,&space;3)}&space;\\\mathbf{r_1=4}&space;\\&space;\\\mathbf{L2\equiv&space;(x-12)^2+(y-3)^2=4}&space;\\\mathbf{P_2=(12,&space;3)}&space;\\\mathbf{r_2=2} "\\\mathbf{L1\equiv (x-2)^2+(y-3)^2=16} \\\mathbf{P_1=(2, 3)} \\\mathbf{r_1=4} \\ \\\mathbf{L2\equiv (x-12)^2+(y-3)^2=4} \\\mathbf{P_2=(12, 3)} \\\mathbf{r_2=2}")
}} "\\\mathbf{x_E=\frac{r_2.x_1+r_1.x_2}{r_1+r_2}} \\\\\mathbf{x_E=\frac{2.2+4.12}{4+2}} \\\\\mathbf{x_E=\frac{52}{6}=\frac{26}{3}} \\\\ \\\mathbf{y_E=\frac{r_2.y_1+r_1.y_2}{r_1+r_2}} \\\\\mathbf{y_E=\frac{2.3+4.3}{4+2}} \\\\\mathbf{y_E=\frac{18}{6}=3} \\\\\mathbf{{\color{Red} maka\;koordinat\;titik\;E=(\frac{26}{3},3)}}")
Kita substitusi ke dalam persamaan:
\;\pm\;r_1.\sqrt{1+m^2}}&space;\\\mathbf{3-3=m.(\frac{26}{3}-2)\;\pm\;4.\sqrt{1+m^2}}&space;\\\mathbf{0=m.(\frac{20}{3})\;\pm\;4.\sqrt{1+m^2}}&space;\\\mathbf{-m.(\frac{20}{3})\;=\pm\;4.\sqrt{1+m^2}}&space;\\kuadratkan\\&space;\\\mathbf{\frac{400}{9}m^2\;=\;16.(1+m^2)}&space;\\kedua\;ruas\;dibagi\;16\\&space;\\\mathbf{\frac{25}{9}m^2\;=\;(1+m^2)}&space;\\\\\mathbf{25m^2\;=\;9+9m^2}&space;\\\mathbf{16m^2\;=\;9}&space;\\\\\mathbf{m^2\;=\;\frac{9}{16}}&space;\\\\\mathbf{m\;=\;\pm&space;\frac{3}{4}} "\\\mathbf{y_E-y_1=m.(x_E-x_1)\;\pm\;r_1.\sqrt{1+m^2}} \\\mathbf{3-3=m.(\frac{26}{3}-2)\;\pm\;4.\sqrt{1+m^2}} \\\mathbf{0=m.(\frac{20}{3})\;\pm\;4.\sqrt{1+m^2}} \\\mathbf{-m.(\frac{20}{3})\;=\pm\;4.\sqrt{1+m^2}} \\kuadratkan\\ \\\mathbf{\frac{400}{9}m^2\;=\;16.(1+m^2)} \\kedua\;ruas\;dibagi\;16\\ \\\mathbf{\frac{25}{9}m^2\;=\;(1+m^2)} \\\\\mathbf{25m^2\;=\;9+9m^2} \\\mathbf{16m^2\;=\;9} \\\\\mathbf{m^2\;=\;\frac{9}{16}} \\\\\mathbf{m\;=\;\pm \frac{3}{4}}")
Dengan ditemukannya 2 buah nilai "m", dapat dipastikan bahwa akan terdapat 2 buah garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran.
Persamaannya:
}&space;\\\\\mathbf{y-3=\pm&space;\frac{3}{4}.(x-\frac{26}{3})}&space;\\\\&space;(1)&space;\\\mathbf{y-3=&space;\frac{3}{4}.(x-\frac{26}{3})}&space;\\\\\mathbf{4y-12=&space;3.(x-\frac{26}{3})}&space;\\\mathbf{4y-12=&space;3x-26}&space;\\\mathbf{3x-4y-26+12=0}&space;\\\mathbf{3x-4y-14=0}&space;\\\\&space;(2)&space;\\\mathbf{y-3=&space;-\frac{3}{4}.(x-\frac{26}{3})}&space;\\\\\mathbf{4y-12=&space;-3.(x-\frac{26}{3})}&space;\\\mathbf{4y-12=&space;-3x+26}&space;\\\mathbf{3x+4y-12-26=0}&space;\\\mathbf{3x+4y-38=0} "\\\mathbf{y-y_E=m.(x-x_E)} \\\\\mathbf{y-3=\pm \frac{3}{4}.(x-\frac{26}{3})} \\\\ (1) \\\mathbf{y-3= \frac{3}{4}.(x-\frac{26}{3})} \\\\\mathbf{4y-12= 3.(x-\frac{26}{3})} \\\mathbf{4y-12= 3x-26} \\\mathbf{3x-4y-26+12=0} \\\mathbf{3x-4y-14=0} \\\\ (2) \\\mathbf{y-3= -\frac{3}{4}.(x-\frac{26}{3})} \\\\\mathbf{4y-12= -3.(x-\frac{26}{3})} \\\mathbf{4y-12= -3x+26} \\\mathbf{3x+4y-12-26=0} \\\mathbf{3x+4y-38=0}")
Diperoleh 2 buah persamaan garis singgungnya, yakni: 3x - 4y - 14 = 0 dan 3x + 4y - 38 = 0
2. Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
Perhatikan Ilustrasi Gambar berikut:
Pada tingkat SMP, biasanya sudah dipelajari tentang menghitung panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran, tetapi untuk tingkat SMA, khususnya materi Matematika Peminatan, yang ditanyakan adalah persamaan garis singgung persekutuan dua lingkaran.
Yukk, kita bahas saja.
1. Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Perhatikan Ilustrasi Gambar berikut:
Perhatikan yang diketahui pada gambar
Karena titik E dilalui oleh garis singgung persekutuan AB, maka titik E bisa disubstitusikan ke persamaan garis singgung persekutuan AB
sehingga menjadi:
dengan manipulasi aljabar, akan diperoleh nilai dari "m"
Setelah nilai "m" diperoleh, selanjutnya salah satu alternatif penyelesaian, tinggal mencari persamaan garis lurus yang melalui 1 titik dan bergradien "m", yakni:
LATIHAN SOAL
Tentukan persamaan Garis Singgung Persekutuan Dalam dari Dua Lingkaran Berikut:
Alternatif Solusi:
Kita substitusi ke dalam persamaan:
Dengan ditemukannya 2 buah nilai "m", dapat dipastikan bahwa akan terdapat 2 buah garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran.
Persamaannya:
Diperoleh 2 buah persamaan garis singgungnya, yakni: 3x - 4y - 14 = 0 dan 3x + 4y - 38 = 0
2. Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran
Perhatikan Ilustrasi Gambar berikut:
0 Response to "Persamaan Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran"
Post a Comment