Seri Stimulus SMA ~ Limit Euler

Bilangan e, juga dikenal sebagai bilangan Euler, adalah konstanta matematika yang kira-kira sama dengan 2,71828, dan dapat dikarakterisasi dengan banyak cara. Ini adalah basis dari logaritma natural. Ini adalah

$\mathbf{\lim_{x\rightarrow \infty}\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^x}$

, ekspresi yang muncul dalam studi bunga majemuk. Itu juga dapat dihitung sebagai jumlah dari deret tak hingga.

$\mathbf{e=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{1}{x!}=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{1.2.3}+...}$

dimana besar nilai e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995...

Bilangan e, juga bisa dituliskan dalam bentuk

$\mathbf{\lim_{x\rightarrow&space;\infty}\left&space;(&space;1+\frac{1}{x}&space;\right&space;)^x=e}$

atau

$\mathbf{\lim_{x\rightarrow&space;\infty}\left&space;(&space;1+x&space;\right&space;)^\frac{1}{x}=e}$

Bentuk - bentuk tersebut bisa di modifikasi dengan beberapa bentuk dibawah ini:

$\\\\\mathbf{1.\;\lim_{x\rightarrow\infty}\left ( 1-\frac{1}{x} \right )^x=e^{-1}} \\\\\mathbf{2.\;\lim_{x\rightarrow\infty}\left ( 1-\frac{n}{x} \right )^x=e^{-n}} \\\\\mathbf{3.\;\lim_{x\rightarrow\infty}\left ( 1+\frac{n}{x} \right )^x=e^{n}} \\\\\mathbf{4.\;\lim_{x\rightarrow\infty}\left ( 1-x \right )^\frac{1}{x}=e^{-1}} \\\\\mathbf{5.\;\lim_{x\rightarrow\infty}\left ( 1+nx \right )^\frac{1}{x}=e^{n}} \\\\\mathbf{6.\;\lim_{x\rightarrow\infty}\left ( 1-nx \right )^\frac{1}{x}=e^{-n}}$

Juga kita bisa menggunakan Teorema Limit Euler jika menemukan bentuk diluar bentuk - bentuk di atas.

$\\\mathbf{Teorema\;Limit\;Euler}\\ \\\mathbf{Jika\;\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0\;dan\;\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\pm\infty,\;maka:}\\ \\\mathbf{{\color{DarkBlue} \lim_{x\rightarrow\infty}\left ( 1+f(x) \right )^{g(x)}=e^{\lim_{x\rightarrow\infty}f(x).g(x)}}}$

Contoh Soal:

Tentukan nilai dari: