Seri Stimulus SMA ~ Permutasi

Perhatikan Contoh Soal Berikut:

1. Sebuah organisasi mahasiswa memiliki 7 orang yang kompeten untuk mengisi posisi ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Berapakah banyaknya cara untuk memilih susunan posisi tersebut !

2. Berapakah banyaknya susunan 2 huruf yang dapat dibentuk dari huruf A, B ,C dan D, jika huruf-huruf penyusunnya tersebut boleh diulang?

3. Berapa banyak pengacakan huruf - huruf pada kata "WAHIDIN"?

4. Jika 6 orang duduk melingkar di sebuah meja bundar, banyak cara mereka duduk adalah...

Dapatkah kamu menyelesaikan soal - soal tersebut?

Tentu bisa.

Soal - soal tersebut bisa dikerjakan secara manual, atau istilah lainnya membuat list semua kejadian yang mungkin.

Tetapi apakah hal tersebut cukup efektif?

Tentu tidak.

Jika kita mengerjakan soal - soal tersebut secara manual, maka akan banyak menghabiskan waktu dan tenaga.

Soal - soal tersebut merupakan contoh soal tentang Permutasi.

Apa itu permutasi?

Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutannya.

Dengan kata simpel, ciri soal yang dikerjakan dengan permutasi adalah sebagai berikut:
Urutan diperhatikan atau AB tidak sama dengan BA

Ciri khusus Soal tentang Permutasi:
1. Soal tentang Jabatan
2. Soal tentang Juara

Walaupun demikian, masih banyak tipe soal lainnya yang berhubungan dengan permutasi.

Saat nya kita belajar tentang permutasi yaa..

Notasi dari permutasi adalah $P.$ Jika $k$ objek diambil dari $n$ objek maka banyaknya susunan yang dapat dibentuk disebut dengan $n$ permutasi $k,$ yang dinotasinya dengan $^nP_k,$ dimana $^nP_k = \frac {n!}{(n-k)!}$ Notasi $!$ adalah faktorial.

Sebagai Contoh:
$\large \mathbf{Tentukan\;hasil\;^6P_3}$
Jawab:
$\large \mathbf{^6P_3=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!}=\frac{6\times 5 \times 4 \times 3!}{3!}=6\times 5 \times 4=120}$

Jenis - Jenis Permutasi:

1. Permutasi Unsur Beda

Permutasi unsur yang berbeda, sama saja dengan rumus umum permutasi di atas. Jika terdapat n unsur yang berbeda, kemudian akan diambil k unsur secara acak, maka banyak permutasinya bisa ditentukan dengan rumus berikut:
$\large \mathbf{^nP_k=\frac{n!}{(n-k)!}}$

Contoh:
Di dalam sebuah klub yang terdiri dari 10 siswa, akan dipilih tim perwakilan lomba debat yang terdiri dari ketua, speaker dan notulen. Banyak cara memilih tim adalah....

Jawab:

Diketahui ada 10 siswa, maka n = 10, karena akan dipilih ketua, speaker dan notulen, maka akan diperoleh k = 3
Kenapa kita tahu soal tersebut menggunakan permutasi?
Bisa juga kalian sebut kenapa
Untuk banyak cara, menggunakan perhitungan berikut:
$\large \mathbf{^{10}P_3=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10!}{7!}=10 \times 9 \times 8 = 720}$
maka, banyak cara menyusun tim ada 720 cara.

2. Permutasi unsur berbeda dengan pengulangan.

Jika k unsur dipilih dari n unsur berbeda, tetapi unsur - unsur tersebut bisa muncul lebih dari satu kali, maka banyak permutasinya bisa dicari dengan rumus berikut:
$\large \mathbf{P=n^k}$

Contoh Soal:
Berapakah banyaknya susunan 2 huruf yang dapat dibentuk dari huruf A, B dan C, jika huruf-huruf penyusunnya tersebut boleh diulang

Jawab:
Dari soal jelas terdapat 3 huruf dan dipilih susunan 2 huruf, sehingga n = 3 dan k = 2
Banyak permutasi:
$\large \mathbf{P=3^2=9}$
Jadi, ada 9 susunan
Untuk pembuktiannya, seperti berikut:
AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC
ada 9 kemungkinan.

Terdapat pertanyaan. Apakah AB sama dengan BA pada soal tersebut?

3. Permutasi Unsur Yang Sama

Jika dilakukan permutasi di dalam n unsur, tetapi terdapat sebanyak k, l, m, ... unsur yang sama di dalamnya, maka banyak permutasi dari unsur tersebut bisa dicari dengan rumus berikut:
$\large \mathbf{^nP_{k,\;l,\;m}=\frac{n!}{k!.l!.m!}}$

Contoh Soal:
Tentukan banyak permutasi dari kata "MAMA"

Jawab:
Perhatikan kata "MAMA"
n = 4, huruf A = 2 dan huruf M = 2
maka banyak permutasinya adalah:
$\large \mathbf{^4P_{2,\;2}=\frac{4!}{2!.2!}=\frac{4 \times 3 \times 2!}{2! \times 2\times 1}=6}$
maka, terdapat 6 permutasi kata "MAMA"
Untuk bukti, sebagai berikut:
MAMA, MAAM, MMAA, AAMM, AMMA, AMAM

Tips, jika unsur cuma ada 1, tidak usah ditulis dalam perhitungan, untuk mempercepat penulisan dan perhitungan.

4. Permutasi Siklis

Permutasi siklis atau melingkar bisa dikatakan banyak susunan yang berbeda jika ada n unsur disusun secara melingkar. Untuk mencarinya, bisa menggunakan rumus berikut:
$\large \mathbf{P_s=(n-1)!}$

Contoh Soal:
Banyak penyusunan 4 unsur jika disusun secara melingkar adalah....

Jawab:
Perhatikan pada soal jelas, n = 4 maka, banyak permutasi siklisnya adalah:
$\large \mathbf{P_s=(4-1)!=3!=6}$
Jadi, terdapat 6 susunan melingkar yang berbeda.
Dapatkah kalian menunjukkan bukti 6 susunan tersebut?

Demikianlah materi dasar dari Permutasi. Untuk soal yang lebih kompleks, bisa dilihat di blog ini juga,
https://www.aiairyn.com/2021/09/soal-peluang-matematika-sma.html

Semangat

Seri Stimulus SMA ~ Permutasi

0 Response to "Seri Stimulus SMA ~ Permutasi"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel