Salinan soal OSN SMA 2024 Bidang Matematika - Day 1
Hari ini adalah hari pertama pelaksanaan tes Olimpiade Sains Nasional (OSN) 2024 semua bidang. Berikut salinan soal Matematika, OSN 2024 untuk hari pertama.
OSN MATEMATIKA SMA/MA 2024
Hari Pertama
Rabu, 28 Agustus 2024
Waktu: 240 menit (4 jam)
1. Carilah semua pasangan bilangan real positif a, b yang memenuhi sistem persamaan
$\sqrt{a} + \sqrt{b} = 6$
$\sqrt{a-5}+\sqrt{b-5}=4$
2. Triplet bilangan bulat positif $(a, b, c)$ dengan $a <b<c$ disebut fatal jika terdapat tiga bilangan bulat taknol $p, q, r$ yang memenuhi persamaan
$a^p.b^q.c^r=1$
Sebagai contoh, $(2, 3, 12)$ adalah triplet fatal karena $2^2.3^1. (12)^{-1}= 1$.
Bilangan asli N disebut fatal jika terdapat triplet fatal $(a, b, c)$ sehingga $N = a+b+c. $
(a) Buktikan bahwa 16 tidak fatal.
(b) Buktikan bahwa semua bilangan bukan kelipatan 6 yang lebih besar dari 16 fatal.
3. Diberikan segitiga $ABC$ yang lingkaran luarnya berpusat di $O$ dan ketiga garis tingginya berpotongan di $H$. Garis $AH$ dan garis $BH$ memotong lingkaran luar segitiga $ABC$ sekali lagi berturut-turut di titik $D$ dan $E$. Misalkan $A'$ dan $B'$ berturut- turut menyatakan titik pusat lingkaran luar segitiga $AHE$ dan lingkaran luar segitiga $BHD$. Jika $A', B', O$, dan $H$ tidak segaris, buktikan $OH$ melalui titik tengah ruas garis $A'B'$.
4. Kobar dan Borah bermain di papan tulis dengan aturan sebagai berikut: Diberikan dua buah bilangan asli berbeda di papan. Pada setiap langkah, dimulai dari Kobar, masing-masing pemain secara bergiliran mengubah bilangan di papan, dari $P$ dan $Q$, menjadi $2PQ$ dan $2Q - P$ atau dari $P$ dan $Q$ menjadi $5P - 4Q$ dan $5Q - 4P$. Permainan berakhir saat ada pemain yang memunculkan bilangan tak positif. Pemain tersebut dinyatakan kalah, dan lawannya dinyatakan menang.
Di awal permainan, bilangan yang tertulis di papan adalah $2024$ dan $A$ Jika diketahui Kobar dapat melangsungkan langkah pertamanya, tentukan nilai $A$ terbesar yang mungkin sehingga Borah dapat memenangkan permainan ini.
0 Response to "Salinan soal OSN SMA 2024 Bidang Matematika - Day 1"
Post a Comment