Menentukan Digit Terakhir (Satuan) dari Suatu Bentuk Perpangkatan

"Bayangkan kamu sedang mengerjakan soal matematika yang melibatkan bilangan pangkat sangat besar. Salah satu pertanyaan yang sering muncul adalah: "Berapakah digit terakhir dari hasil perpangkatan ini?". Pertanyaan ini mungkin terlihat sepele, namun ternyata memiliki aplikasi yang luas, mulai dari teori bilangan hingga ilmu komputer. Mari kita pelajari bersama bagaimana cara menjawab pertanyaan ini dengan cepat dan akurat."

Berikut akan dibahas beberapa bentuk perpangkatan.

1. Perpangkatan dengan Bilangan Pokok "1"

Untuk perpangkatan yang memiliki bentuk $1^n$, tentu saja memiliki digit terakhir yakni angka $1$. Dikarenakan sifat perpangkatan, bahwa 1 jika dipangkatkan berapapun, hasilnya tetap 1.

2. Perpangkatan dengan Bilangan Pokok "2"

Untuk menentukan digit terakhir perpangkatan dengan bilangan pokok 2, maka terlebih dahulu, kita menjabarkan perpangkatan tersebut untuk menemukan pola. Penjabarannya seperti berikut ini:

$2^1 = 2$, memiliki satuan 2

$2^2 = 4$, memiliki satuan 4

$2^3 = 8$, memiliki satuan 8

$2^4 = 16$, memiliki satuan 6

$2^5 = 32$, memiliki satuan 2

$2^6 = 64$, memiliki satuan 4

$2^7 = 128$, memiliki satuan 8

$2^8 = 256$, memiliki satuan 6

$2^9 = 512$, memiliki satuan 2

Bisa diperhatikan, untuk setiap pertambahan 4 kali dari awal perhitungan, memiliki hasil satuan yang sama.

$2^1 = 2^5 = 2^9$ memiliki satuan yang sama, yakni 2.

Begitu juga $2^2 = 2^6$ satuannya adalah 4, $2^3 = 2^7$ satuannya 8 dan $2^4 = 2^8$ memiliki satuan 6.

Jika kita berpikir manipulasi, $5 = 1.4 + 1$, dan $9 = 2.4 + 1$, dan dengan menyatakan bahwa setiap pertambahan 4 hasilnya sama, maka bisa kita tuliskan sebagai berikut:

$2^5 = 2^{1.4+1} = 2^1$

$2^9 = 2^{2.4+1} = 2^1$ adalah benar, maka bisa kita tuliskan bentuk umumnya,

$2^n = 2^{k.4+m} = 2^m$ dengan $m=0, 1, 2, 3$

(Saya sendiri memilih, jika $m=0$, saya jadikan $4$)

Sebagai contoh:

Tentukan digit terakhir dari bentuk $2^{2024}$!

Jawab:

$2^{2024}=2^{506.4+0}=2^{505.4+4}=2^4$ memiliki satuan 6

3. Perpangkatan dengan Bilangan Pokok "3"

Untuk menentukan digit terakhir perpangkatan dengan bilangan pokok 3, sama caranya dengan perpangkatan dengan bilangan pokok 2. Terlebih dahulu kita menentukan polanya.

$3^1 = 3$, memiliki satuan 3

$3^2 = 9$, memiliki satuan 9

$3^3 = 27$, memiliki satuan 7

$3^4 = 81$, memiliki satuan 1

$3^5 = 243$, memiliki satuan 3

$3^6 = 729$, memiliki satuan 9

$3^7 = 2187$, memiliki satuan 7

$3^8 = 6561$, memiliki satuan 1

$3^9 = 19683$, memiliki satuan 3

karena juga berulang setiap 4 kali, maka bentuk umumnya bisa dituliskan sebagai berikut:

$3^n = 3^{k.4+m} = 3^m$ dengan $m=0, 1, 2, 3$

Sebagai contoh:

Tentukan digit terakhir dari bentuk $3^{2025}$!

Jawab:

$3^{2025}=3^{506.4+1}=3^1$ memiliki satuan 3

4. Perpangkatan dengan Bilangan Pokok "4"

Untuk menentukan digit terakhir perpangkatan dengan bilangan pokok 4, kita harus merubah perpangkatan 4 menjadi perpangkatan dengan bilangan pokok 2. Lalu cara pengerjaannya sama dengan pengerjaan perpangkatan dengan bilangan pokok 2.

Sebagai contoh:

Tentukan digit terakhir dari bentuk $4^{1236}$!

Jawab:

$4^{1236}=(2^2)^{1236}=2^{2472}=2^{618.4+0}=2^{617.4+4}=2^4$ memiliki satuan 6

5. Perpangkatan dengan Bilangan Pokok "5"

Untuk digit satuan dari perpangkatan dengan bilangan pokok 5, hasilnya adalah 5. Karena $5^n$ memiliki digit satuan $5$.

6. Perpangkatan dengan Bilangan Pokok "6"

Untuk digit satuan dari perpangkatan dengan bilangan pokok 6, hasilnya adalah 6. Karena $6^n$ memiliki digit satuan $6$.

7. Perpangkatan dengan Bilangan Pokok "7"

Untuk menentukan digit terakhir perpangkatan dengan bilangan pokok 7, sama caranya dengan perpangkatan dengan bilangan pokok 2. Polanya juga sama, berulang untuk setiap penjumlahan 4.

$7^1 = 7$, memiliki satuan 7

$7^2 = 49$, memiliki satuan 9

$7^3 = 343$, memiliki satuan 3

$7^4 = 2401$, memiliki satuan 1

memiliki bentuk umum:

$7^n = 7^{k.4+m} = 7^m$ dengan $m=0, 1, 2, 3$

Sebagai contoh:

Tentukan digit terakhir dari bentuk $7^{2023}$!

Jawab:

$7^{2023}=7^{505.4+3}=7^3$ memiliki satuan 3

8. Perpangkatan dengan Bilangan Pokok "8"

Untuk menentukan digit terakhir perpangkatan dengan bilangan pokok 8, kita harus merubah perpangkatan 8 menjadi perpangkatan dengan bilangan pokok 2. Lalu cara pengerjaannya sama dengan pengerjaan perpangkatan dengan bilangan pokok 2.

Sebagai contoh:

Tentukan digit terakhir dari bentuk $4^{1236}$!

Jawab:

$8^{1937}=(2^3)^{1937}=2^{5811}=2^{1452.4+3}=2^3$ memiliki satuan 8

9. Perpangkatan dengan Bilangan Pokok "9"

Untuk menentukan digit terakhir perpangkatan dengan bilangan pokok 9, kita harus merubah perpangkatan 9 menjadi perpangkatan dengan bilangan pokok 3. Lalu cara pengerjaannya sama dengan pengerjaan perpangkatan dengan bilangan pokok 9.

Sebagai contoh:

Tentukan digit terakhir dari bentuk $9^{1236}$!

Jawab:

$9^{1236}=(3^2)^{1236}=3^{2472}=3^{618.4+0}=3^{617.4+4}=3^4$ memiliki satuan 1

Dengan memahami pola-pola digit terakhir dari hasil perpangkatan, kita bisa dengan cepat menentukan digit terakhir dari bilangan yang sangat besar tanpa perlu melakukan perhitungan yang panjang. Keren, bukan? Selamat mencoba soal-soal latihannya ya!

Soal Latihan:

Tentukan digit terakhir dari $7^{2024}$.

Buktikan bahwa digit terakhir dari $5$ pangkat berapapun selalu $5$.

Tentukan digit terakhir dari $(2^{2035} \times 5^{2027})$.

Carilah digit terakhir dari $(7^{2011} + 3^{2013})$.

Hitunglah digit terakhir dari $(9^{999} - 1)$

Share this post